【短期攻略】数B群数列の最速マスター講座｜熊本の学習塾ブレイクスルー・アカデミー
こんにちは。熊本の勉強戦略コンサルティング指導学習塾、ブレイクスルー・アカデミー代表の安東正治です。
今日は、もしかしたらあなたも苦手かも知れない数Bの数列分野、特に群数列についてレクチャーしたいと思います。群数列とは、ベースは普通の数列なのに、そこに群ごとに区切りを入れて、群そのものにも数列の要素を組み込むという、言わば二重構造の数列です。それゆえ、自分が一体今何を計算しているのかを見失って「あ〜訳分からない！」となってしまう方が続出する分野。ベクトルや対数関数と並び、この３つは高校生たちを混乱させ数学嫌いにさせる”魔のフロリアントライアングル”なのです。それを今回少しでもマスターして、その深い霧から抜け出せるようにしたいと思います。
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熊本の学習塾塾長が教える群数列のその前に
ではまずは基本的なところから進めましょう。先ほど申し上げた「二重構造の数列である」という点です。
まず、今までの数列というのは、等差数列か等比数列でした。この2つのいずれかしかないので、それぞれに付随する公式は確実に覚えておいて下さい。
等差数列(初項a1、公差d、一般項an、第n項までの総和Snとすると)
一般項：an = a1 + d(n-1)
第n項までの総和：Sn = n(a1+an) / 2
等比数列(初項a1、公差r、一般項an、第n項までの総和Snとすると)
一般項：an = a1 × r^(n-1)
※r^nは「rのn乗」の意
第n項までの総和：(1) r=1 のとき
Sn = n × a1
(2) r ≠ 1 のとき
Sn = a1(1-r^n) / (1-r) = a1(r^n-1) / (r-1)
パソコンでの横書き式は見にくいかも知れませんので、教科書等で各自確認しておいて下さいね。プラスで、それぞれの総和の公式は導けるように練習しておいて下さい。特別高校レベルで解けないものは別として、公式は自分の力で導けるように導出過程をしっかり理解しておくことが求められます。この導出過程(プロセス)にこそ、数学力を爆発的に引き伸ばしてくれるエッセンスが詰まっているので、少し手間も時間も掛かりますが、確実に理解しておいて下さい。
さて、群数列の難しいところは、数列自体の総和や第n番目を求めさせるという直接的な意味だけでなく、「第何群の何番目か」を求めさせる過程で数列の公式を使わせようとするところです。つまり、公式をただ丸暗記しているだけでは求められていることに気付きにくいのです。
熊本の学習塾塾長が教える群数列のポイント
では実際に動画と同じ数列を使って解説していきます。
1 | 3 5 | 7 9 11 | 13 15 17 19 | 21 ・・・・・
まず二重構造をはっきりさせるために以下のように2つの視点を手に入れて下さい。
① 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 ・・・・
ベースとなる奇数が並ぶ奇数列。
② ◯ | ◯◯ | ◯◯◯ | ◯◯◯◯ | ◯ ・・・・
並んだ数字を1個、2個、3個と区切っていく、もう一つの数列。1群、2群、3群、、、と見て、ベースの奇数列の項数を数える時に活用する。
この時に「第n群の最初の数」と言われたら、まずは②を使って認識します。ここではとりあえず「第4群の最初の数」を考えてみましょう。ちなみに、第n群とか言われて意味が分からないと思ったら、具体的な数字を入れて実際に解いてみると糸口が見つかります。これがセンター試験の誘導でよくあるパターンです。具体的に解かせてから一般化に持っていく。それを自分の勉強の時に活用するのです。
② ◯ | ◯◯ | ◯◯◯ | ◯◯◯◯ | ◯ ・・・・
ここで◯で示した部分が、ベースとなる①の数列の何番めに当たるのかを考えていきます。実際には①と②を重ねてあるのが群数列の問題なので、その元の形に戻してみましょう。すると以下のようになります。
1 | 3 5 | 7 9 11 | 13 15 17 19 | 21 ・・・・
こうなるのですが、ここで13という数字が何番目の数字なのかを知るためには、11までにいくつの数字が並んでいるのかを知るのが早いと分かります。そして群を見ると11という数字までに1、3、5、7、9、11と並び、それが「1」「3、5」「7、9、11」という群に分かれているので、数字の数を数えて
1 + 2 + 3 = 6
と数えて、11は6番目(6項目)の数字なので、13は7番目(7項目)の数字だということが分かるわけです。
これが第5群の最初の数であれば、第4群までにいくつの数字が並んでいるのかを考えれば良いので、上と同じように発想して、
1 + 2 + 3 + 4 = 10
と数えられるため、11番目の数字である21だということが言えます。これを拡張していって第n群の最初の数を考えるということになれば、
1 + 2 + 3 + ・・・・+ (n-2) + (n-1) = (n-1) {1 + (n-1) } / 2
という等差数列の総和の式を使えば、(n-1)群までに並ぶ項数を求められるということが見えてきますね。数列そのものに公式を適用するのではなく、「項数を数える」という目的のために等差数列の総和の公式を活用するというところに難しさがある、というのはこういうことなのです。
まとめ
群数列という題材が優れているのは、「視点の切り替え」「発想の柔軟性」が求められるからでしょう。以前にもお話ししましたが、数学というのは論理を学ぶための教科です。頭の中で冷静に状況を把握して適切な処置をする能力、物事を筋道立てて考えられる能力が数学で身に付くスキルです。この点に関して群数列はとても頭の体操に使える題材と言えます。
最初はとっつきづらいとか難しそうとか思うかも知れませんが、まずは最初の２、３問は時間を気にせずじっくり丁寧に解いて理解を優先させて下さい。手が止まったら何も気にせず解答を熟読して、なぜ自分が解けなかったのかの理由を探ってみましょう。「時間を掛けて解く」というのは、自力で解くということではなく、理解することに時間を惜しまないということですから、焦らなくても全然大丈夫です。問題数を稼ぐことよりも理解を優先させて、構造が理解できてから問題演習量を増やしましょう。それでも5問も解けば十分かと思いますよ。
分からない問題にイラっとしたり、難しそうな問題を避けたくなる自分の感情に打ち克つ練習も、数学を通して養うことができる素養です。セルフコントロールスキルを磨いて、感情との付き合い方を覚えていくと、難問に対する気持ちの動揺も消し去ることができるようになるでしょう。
ちょっと大げさな話までいきましたが、今回の群数列についても絶対大丈夫です。落ち着いて取り組めば絶対マスターできますから^ ^
熊本の学習塾塾長が群数列をマスターさせる
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