数Ⅱの「図形と方程式」の面白さはどこにあるのか｜熊本の学習塾ブレイクスルー・アカデミー
こんにちは。熊本の勉強戦略コンサルティング指導塾、ブレイクスルー・アカデミー代表の安東正治です。
今回は数Ⅱの「図形と方程式」から「内分点の描く軌跡」についての授業動画をご紹介します。特にこの軌跡を求める問題は頻出なので、ここでしっかり流れを理解していただくのが、この先を理解するのに最適です。ただ1点お詫びですが、だいぶ前の教科書を使っているので動画は「数Ⅲ」となっていますが、今は数Ⅱの教科書に載っているようなので、数Ⅱとして理解して下さいね^ ^; 今はもはや数Cもない時代ですからね、私の現役時代と違っているようです。
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Contents
数Ⅱ「図形と方程式」の全体像
さて、今回のテーマは「図形と方程式」ですが、この分野は数学が好きか嫌いかがハッキリする分野だと私は思っています。数学が好きな方であれば、この「図形」が式で表現できるとする画期的な分野には心がときめくはずです。ビジュアルと数式が明確にリンクする分野とも言えますので、The 数学という感じもしますね。
この「式」と「図形、ビジュアル(実感)」のリンクという感覚は、数学全体を貫くテーマでもあります。数式というものは淡白で無味乾燥なものではなく、実は全てに意味がある有機的な文章です。文字が数字であるだけで、式にはあらゆる意味が明確に意図されており、それは掛け算の「○×△」という単純な式も例外ではありません。「○×△」と「△×○」は別の意味を表す式なのです。
ただ、もし仮にあなたの心がこういった部分にときめかなかったとしても、気にされなくて大丈夫です。ここの分野は問題としてはほぼほぼパターン化されているので、頻出問題に絞ってしっかり対策をすれば攻略できる分野ですから。最初は何から回答を展開していいのか分からない問題も多いと思いますが、解答を読んでしっかり流れを追って理解したら、回答の書き出し部分を意識した解き直しをしてみて下さい。
では今回の動画の内容である内分点を考えていきましょう。
熊本の塾長が語る数Ⅱ「内分点」
内分点があれば外分点もあります。どちらも数Ⅱで習う範囲ですが、今回は内分点から解説します。ちなみにベクトルにも内積という考え方がありますが、それにもやはり「外積」があります。「やる気のメカニズム」のところでもお話ししましたが、内発的動機と外発的動機というのが対になる発想でしたよね。「内」と「外」は多くの場合セットで扱われる概念と言えそうです。
内分点とはその文字の通り、「内側で分ける点」ということになります。問題では、ある2つの点を結んだその線分を、点Pが2つの領域に分けるという扱い方をされます。そして内分点の意味が分かってきたら、次に来るのは内分点が描く軌跡を求める問題です。
「点が描く軌跡」というのは、主にxとyの関係式で表されます。軌跡とは二次元の図形なので、その二次元の図形がxyの直交座標上で表現される以上、それはxとyの関係式となり、xとyの関係式ということは「y=f(x)」ということになります。つまり「軌跡を求めよ」とは「y=f(x)」の形で表せ、ということなのです。
問題はその 内分点をどう式として表現するかの過程で、その線分の両端の点が動くということ。ということは、まずはその両端の点の動きを把握した上で、それらの点の動きを表す式を使って内分点を表現しに行くという、ちょっと遠回りが必要だということです。この「内分点を数式で表現する」ところまでをまずは慣れていって下さい。
熊本の塾長が語る数Ⅱ「内分点の描く軌跡」
では内分点が描く軌跡を求めよ、という問題がどんなものなのかを見ていきましょう。
大抵のパターンは動点と固定点を結ぶ線分を分かつ内分点が、動点と共にどんな軌跡を描くのかというものです。詳しくは動画の方を観ていただきたいのですが、ある放物線上を動く点Aと、同じ座標平面上の固定された点Bを結んで線分ABを作り、その線分を1:3か何かで内分する点Pを設定します。あとは、点Aが放物線上を動くのに合わせて点Pも動く事になるので、その点Pがどんな曲線を描くのかというのを求める問題になります。
よく分からない間は「なんのこっちゃ？？」と思うかも知れませんが、これをパターンとして認識して冷静に紐解いていくと、解き方はワンパターンであることが分かります。その流れは以下の通りです。
① 求めたい点Pの座標を(x , y)とおく。
② 放物線上を動く点の座標を(s , t)とおく。
③ 内分点の公式で x =, y =を得る。
④ ③の式をs , t について解き直す。
⑤ ④の式を放物線の方程式に代入する。
⑥ 「求めた関係式は題意を満たす」と一言添える。
⑦ 「よって求める軌跡は〜」と閉める。
数Ⅱ「外分点」へ
7つもステップがあるのかと思うかも知れませんが、実際に問題を見ていただくと分かるように、片方が固定点であれば上の解答の流れを覚えているだけで満点を取ることも可能です。難関大になれば両方とも動点だったりするわけですが、両方動く場合は2段階で解けばいいだけです。片方を固定して解いて、求まった曲線がもう一方の動点に従ってどう動くかを考えるだけなので、流れは大まかには同じです。あとは問題演習で慣れて下さいね。
ここから次には「外分点」に行きます。図形の意味的に「外分点」と言われれば、内分点との比較で「点は外にありそうだ」ということは分かります。あとは「外とは一体どこなのか」を明確に理解するためのステップが必要ということです。
ちなみに内分点と外分点を理解するための動画と、外分点が描く軌跡の求め方の動画も、要望がありましたので撮りました。Youtubeにアップしてありますので、上の動画が観終わってから、よろしければチャンネル登録をしていただけたらと思います。随時動画アップされる度にアナウンスができますので、宜しくお願い致します。
まとめ
今回は数Ⅱの「図形と方程式」より「内分点」についてご紹介しました。ある意味では図形と方程式の基本みたいな分野ですので、内分点が描く軌跡の問題はサクサク解けるように練習しておいて下さい。
また、数学の面白さはこの「ビジュアルと式をリンクさせて理解できること」にありますので、この分野は特にそういったことを意識して取り組んでみて下さい。きっと数学の本質に辿り着くことができるでしょう。
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