数Bベクトルはこう攻略しろ！熊本の塾長が教えるベクトル攻略のポイント｜熊本市の学習塾ブレイクスルー・アカデミー

こんにちは。熊本の勉強戦略コンサルティング指導塾、ブレイクスルー・アカデミー代表の安東正治です。


あなたは高校数学の数Bに出てくるベクトル分野は得意ですか？数学にはいくつもの”魔の海域”があり、結構ベクトルでつまづく人が多いようなのです。かく言う私も(そして実は私の父も)最初はそこまで好きな分野ではありませんでした。しかし一旦意味が分かってくると途端に面白くなってきたんですね。


今回は、あなたがもしベクトルを理解したいと思う方であれば是非目を通していただきたい内容になっています。数学は「意味」さえ掴めればビジュアル(単なる数式ではなくイメージ)として頭に入っていくようになるので、見え方がガラッと変わっていきますよ。その感覚(ある種の快感！？)を是非共有させて下さい。


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熊本の塾長が教える数Bベクトルとは！？

そもそも「ベクトルってなんだよ！」と思っている方も少なくないかも知れませんね。「長さと傾きが固定された矢印」がベクトルなわけですが、それが本質ではありません。ちなみに私の先輩は学生時代、ベクトルが分からないと嘆く私に「ベクトルを極めると、世の中の全てがベクトルに見えてくるんだよ、うへへへ」なんて言ってました。さすがに「この先輩、結構キモいな(汗)」と思っていましたが、結構本当でした(笑)確かに世の中の全てはベクトルでした。そしてその先輩は現役で東大に行きました。やっぱり東大行く人はぶっ飛んでます。


さて、これは何を言っているのかというと、ベクトルの本質は「どこに持って行ってもa→はa→である(「a→」は「aベクトル」と考えて下さい。表記が縦にならず見えにくくなっています。)」ということです。これを拡張して一般化すると、「私」という存在はどこに行っても「私」ですし、「あなた」という存在はどこにいても「あなた」です。あなたの持っているペンも、学校で使おうが塾で使おうが家で使おうが全く同じペンとして機能します。ですから、私もあなたもあなたのそのペンも、言ってみればそれら全てが本質的には「ベクトルである」と言えるわけです。


ただ、数Bにおけるベクトルは、その中でも特に座標上の数学的な意味しか持たない限定的なベクトルと見ればそれで十分です。その→をどこに移動させても、その→が持つ意味は変わりません。もしa→が「X軸方向に3、Y軸方向に7進むベクトル、つまり(3 , 7)ベクトル」だと言うのであれば、a→はどこに持って行っても(3 , 7)ベクトルとして振舞います。ベクトルの始点を置いた場所から「X軸方向に3、Y軸方向に7進む」という意味を示すのです。これがベクトルの基本です。

熊本の塾長が教える数Bベクトルの意味

今2種類の意味を並列させて簡単に説明を流してしまいましたが、実はここがベクトルの一番混乱する部分です。同じa→にしても、そのベクトルが意味することは2種類あるわけです。それが上記の

① X軸方向に3、Y軸方向に7進むベクトル→方向ベクトル

② (3 , 7)ベクトル→位置ベクトル

という2点です。すでにここに示したように、表記上1通りしかないベクトルですが、実はその意味には「方向ベクトル」と「位置ベクトル」の2種類があるのです。そして、表記が同じだけに、問題や意味によって自分でそれを使い分けたり読み分けたりしなければならない、そしてその説明が教科書の中に明確に記載されていない、というのがベクトル恐怖症の原因なわけです。


方向ベクトルは上に示したように、「動き」を表します。X軸方向に3進み、Y軸方向に7進む方向という、その動きと方向性を示します。


一方、位置ベクトルは、その名の通り「位置」を指し示す意味があります。ベクトルの始点を原点に合わせた時、そのベクトルの終点は(3 , 7)を指し示す！というのが位置ベクトルの意味です。つまりベクトルそのものに意味があるというよりも、そのベクトルの矢印の先が示す「点」に意味があるようなものです。「ここです！」と指し示しているのが位置ベクトルと考えて下さい。


そしてこれらの2つの意味が、問題によってコロコロ変わるんですね。それも何も説明もなしに暗黙の了解として扱われる。だから最初は説明がすんなり入ってこないで混乱するわけです。

熊本の塾長が教える数Bベクトルの”神の視点”

次に説明するのは、私が「神の視点」と呼んでいるものです。この「視点」というのは、ベクトルの「始点」と絡めた表現です。


例えばベクトルでは、新しい始点を別に設定することで、式の表記方法を切り替えることができるという性質があります。一例を挙げると


AB→ = OB→ − OA→


となる場合のことです。AとBの2点を結びAB→を定義している問題でも、新たに点Oを定義し、そこを始点として式を書き換えることで、元のAB→が2つのベクトルOB→、OA→の差で表現されるものだ、ということが言えるわけです。


この時に定義された万能な原点Oのことを、私は個人的に「神の視点(始点)」と名付けました。これは、今のような2次元平面上で考えられる問題の場合はさほど見にくくはならないのですが、これが同一平面上にA、Bに加えCやDが入ってきたりすると、それら4点と同じ平面上にOを新たに設定することで、かえって扱いづらくなるのです。そのため私はイメージの中でその2次元平面とは別の軸、もっと言えば、正に3次元目の空間にある、その2次元平面を俯瞰(ふかん)している立場の私の視点を原点Oとして捉えることで、位置ベクトルを理解しました。位置ベクトルはよく、その平面上にあえて記されていないOを使って、OA→ = (3 , 7)、OB→ = (2 , -5)などと表記されるからです。


ちなみに私はこの「神の視点」をベクトル理解に採用したことで、ベクトルの苦手が一挙に克服できました。本当にこれはオススメです。

まとめ

ベクトルさえ克服できれば数学だって捨てないのに〜なんて思っている方、少なくないと思います。しかしもしかしたらこのブログをきっかけに「あれ？ベクトル意外といけるかも！？」と思っていただけるかも知れない。そうなれば最高です。


こういう「苦手」という反応は、思いの外感情的なものなので、ちょっと踏みとどまって理解に時間を掛けることを厭わなければ、ほぼほぼ克服することができます。数学という教科は、勉強の意味すること以上に、確実に人生そのものに影響を及ぼし得る要素なので、是非ベクトルを克服して数学も拾って下さい。まだ遅くないです。


また、数学それ自体は「論理」を学ぶ教科だということも覚えておいて下さい。ベクトルもそうですが、今習っている様々な分野も、元を正せば歴史的遺産です。数学者は多くは哲学者や神学者だったりしたので、本質的な部分が時に現実世界を理解する話とリンクします。そういう楽しみ方もあるのが数学なのです。が、最初は分からないかも知れません。ふと、この話が腑に落ちる瞬間がいずれやってくると思いますので、その瞬間を楽しみに学ばれてみて下さい。

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