偏差値とは!?わかりやすく解説します!|熊本の塾長談

こんにちは。熊本の勉強戦略コンサルティング指導、ブレイクスルー・アカデミー代表の安東正治です。

 

 

今回は基本に立ち返って「偏差値とは何か!?」ということをわかりやすく解説していきたいと思います。が、当塾のスタンスは相変わらず「偏差値は気にしない」というものです。あくまでも気にするべきは点数であって、偏差値は参考程度にしておきましょう、という考え方をしています。なぜその方が良いのかも併せてお話ししていきますね。

 

 

偏差値とは!?まずは公式から

では、まず最初に公式から入ることにしましょう。いきなり公式かよって思われたかも知れませんが、今回は結論からお話ししていった方がわかりやすいはずなので、ちょっとだけ我慢して下さい^ ^

 

 

さて、下記の公式が偏差値を求める式です。

 

 

偏差値=(あなたの点数ー平均点) × 10 ÷ 標準偏差 + 50

 

 

これを数学的に格好つけて書くと以下のようになります。

 

 

Ti = 10 (Xi – μ) / σ + 50

 

 

となります。μはミューと読み、上の言葉の式と照らし合わせれば「平均」の意味ですね。σはシグマと読み、大文字はΣと書きます。これは高校数学で習う数列の足しあわせの時に出てくる記号です。上の言葉の式で言う「標準偏差」に当たります。平均とか標準偏差が何かということは後でお話しします。

 

 

ちなみにTiとかXiとか出てくるのですが、iというのはあらゆる値を取るという意味合いです。要するにあなたのクラスの生徒さんに番号を付していくと、1,2,3,4,…,40とかなりますよね。それを

 

 

i : 1,2,3,4,…,40

 

 

と表現します。するとi = 4の場合は「Xi (この場合はiに4が入るのでX4になります) には4番の人の点数を入れて考える」ということになります。勿論TiもT4ということになり、T4とは4番の人の偏差値、ということになるわけです。

 

 

偏差値とは!?言葉の意味を理解しよう!

それでは次に、先ほどスルーしていた言葉、「平均」「標準偏差」について解説していきます。

 

 

まずは平均ですが、これは平均点という言葉として考えていただくと一発かも知れません。5人の点数の平均(点)は、5人の点数を全て足しあわせた後、その合計点数を5人の5で割って出された数字ということになります。

 

 

例)

ある数学のテストで5人の点数がそれぞれ30点、40点、50点、60点、70点だったとします。すると彼ら5人の平均(点)は以下のように求められます。

 

 

(30 + 40 + 50 + 60 + 70) / 5 = 250 ÷ 5 = 50 [点]

(終わり

 

 

これを数学的に格好つけて書くと以下のようになります。

 

 

例改)

5人それぞれを1,2,3,4,5と番号を付して考えると、

 

 

i : 1,2,3,4,5

 

 

一人一人の点数をXiとすると

 

 

X1 = 30、X2 = 40、X3 = 50、X4 = 60、X5 = 70

 

 

となり、これを使って5人の点数の合計を求めると以下の式になります。

 

 

Σ(i=1, 5)Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 30 + 40 + 50 + 60 + 70 = 250

 

 

よって、5人の平均(点)は

 

 

Σ(i=1, 5)Xi ÷ 5 = 250 ÷ 5 = 50 [点]

(終わり

 

 

なお、上記はかなりくどく書きました。実際にはもっとコンパクトになりますが、今回はわかりやすく解説したかったので、あえて丁寧に書いてあるとお考え下さい。

 

 

なお、この事例のように人数が明確でない場合は、数学的にはN人という表現の仕方をします。ですので平均値を表す式は以下のように表現されることになります。一番下の式で記載されているのが一般的かと思います。

 

 

μ = Σ(i=1, N)Xi ÷ N

   = Σ(i=1, N)Xi / N

   = 1/N × Σ(i=1, N)Xi 

 

 

さて、次に「標準偏差」を考えていきましょう。こっちはちょっと複雑です。

 

 

まず「偏差」という言葉ですが、これはある母集団から得られた数値のデータの中での平均値から、各データ値がどれくらい偏っているかの偏り度合い、という意味になります。今回は標準的な状況での偏差を扱うので「標準偏差」と呼ばれています。要するに、あなたの数値データが平均値を基準にしてどこらへんにいるのかを知るために使うわけです。

 

 

では、ちょっと難しく感じるかも知れませんが、標準偏差の式を確認しておきましょう。

 

 

σ = √ 1/N × Σ(i=1,N)(Xi – x̄)^2

 

 

ちなみにいきなり出てきた x̄ は「エックスバー」と読み、Xの上に横線(バー)が描かれている構造です。 x̄の意味は「平均」ですので、前述したμと同じものですね。ですので以下のようにも書くことができます。

 

 

σ = √ 1/N × Σ(i=1,N)(Xi – μ)^2

 

 

あえてx̄ を出したのは、こちらの記載も結構使われるためですので、今回は流れを統一させるためにも後者のμを使った式で進めることにしましょう。

 

 

例)

前述と同じ例を採用すると、X1 = 30、X2 = 40、X3 = 50、X4 = 60、X5 = 70なのでμ = 50。これをσの式に当てはめていくと

 

 

σ = √ 1/5 × Σ(i=1,5)(Xi – μ)^2

   = √ 1/5 ×{(30-50)^2+(40-50)^2+(50-50)^2+(60-50)^2+(70-50)^2}

   = √ 1/5 × (400+100+0+100+400)

   = √ 1/5 × 1000

   = √ 200

   = √ 100×2

   = 10 √ 2

   ≒ 14.1421356

 

 

かなり丁寧に書きましたので、各自計算で省けるところは省いていただいて構いません。ただし計算が慣れないうちは丁寧に取り組んで、流れを完璧に掴んでから省くようにして下さい。でないと計算ミスの元になります。

 

 

偏差値とは!?いよいよ偏差値を求めよう!

それではいよいよ、すべてのバーツが出揃ったので、お待ちかねの偏差値を求めてみることにしましょう。データは何度も出てきた5人のものを使います。

 

 

偏差値の公式を復習しておくと以下のようになっていましたね。

 

 

Ti = 10 (Xi – μ) / σ + 50

 

 

ここで、まずはわかりやすいようにi = 3、X3 = 50のデータを使って偏差値を求めてみます。i = 3なのでT3ということになりますね。

 

 

T3 = 10(X3 – 50) / 14.1421356 + 50

     = 10(50 – 50) / 14.1421356 + 50

     = 50

 

 

つまり平均点が50点のテストで点数が50点だった人は偏差値が50である、ということです。ではせっかくなので、他の人の偏差値も求めておきましょう。 データはX1 = 30、X2 = 40、X3 = 50、X4 = 60、X5 = 70を使います。

 

 

T1 = 10(30 – 50) / 14.1421356 + 50 = 35.8578644

T2 = 10(40 – 50) / 14.1421356 + 50 ≒ 42.9288644

T4 = 10(60 – 50) / 14.1421356 + 50 ≒ 57.0711356

T5 = 10(70 – 50) / 14.1421356 + 50 = 64.1421356

 

 

なるほど〜という感じでしょうか^ ^ 

 

 

まとめ!〜なぜ当塾ではこの数値を当てにさせないか〜

ではここまで見てきた時に、偏差値という数字の意味が何となく分かって来られたかと思いますが、ちょっと気をつけていただきたいことがあります。それは「平均」です。

 

 

 

受験というのは偏差値で評価されているわけではありません。あくまでも入試当日の点数が最も重要な数値です。そこにあって「平均点が何点だったか」という基準はあってないようなものなのです。平均点が何点であろうが、当日に何点取れるかが勝負なのであれば、最初から点数目標を設定してそこを目指した方がはるかに分かりやすい指標となります。

 

 

点数を狙うにしても、満点を取る必要はありません。大体は60%強の得点を確保できれば合格最低ラインを超えてくる計算です。それに大学受験の赤本にも「合格者最低点」というデータが毎年載せてありますが、このデータこそが最も参考にすべきものです。例年の推移から推測して、目標ラインに定めてから、どこを狙ってその点数を積み上げるかの戦略を練って下さい。

 

 

考え方はスマートに。偏差値はあくまで参考に過ぎず、自分でコントロールできる数値をメインの指標として取り組んでいただけたらと思います。

 

 

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